همگام سازی ، رقص طبیعت

همگام سازی ، در ابتدا قصد دارم از دوست عزیزم “بهراد” تشکر کنم، بابت فراهم ساختن چنین فضایی برای تبادل علم و دانش  که امیدوارم بنده هر چه در توان دارم برای جبران زحمات دوست عزیزم در این سری از مقالات انجام بدم…خیلی خوشحالم که به کمک دوستم تونستم یک همچین جایی را پیدا کنم ،جایی برای نوشتن و رها شدن ،یه جایی برای ازاد شدن و تمروز باز نوشتم ،هرچند خیلی کم و کوتاه ولی باز نوشتمو این یعنی رضایت و این یعنی انرژِ مثبت،و من چقدر خوشحالم که اینجا هستم .

دوست دارم  شروع این نوشته را از یک پرسش اغاز کنم ، آیا برای فیزیک خوان و در مرحله بالاتر فیزیکدان شدن نیازی به دانستن ریاضیات است یا نه؟! خب جواب این سؤال بسته به معرفت شخص دارد ولی برای جواب دادن به این سؤال بگذارید سؤال دیگری بپرسیم، رابطه بین انسان و زبان چیست؟!
خب انسان به معنای انسان که موجودیست ناطق مطمئناً نیازی به زبان ندارد که البته ناطق بودن انسان جای بحث دارد ولی الا ای حال انسان در وهله اول نیازی به زبان ندارد، خودش می‌تواند غذا تهیه کند، می‌تواند شکار کند، غذا بپزد و تمام احتیاجات اولیه خود را برای زندگی انجام بدهد، فکر کنید انسان تنهایی هستین در یک جنگل، کمی اگر زرنگ باشید به راحتی می‌توانید احتیاجات خود برای زنده ماندن را بر آورده کنید ولی سؤال اینجاست ایا زندگی انسان کافی است؟! یا بهتر بگویم انسان برای بقاء خود نیز می‌تواند بدون زبان به بقاء خود ادامه دهد؟!
بدون توجه به این سؤال که زبان چیست و ایا انسان موجودیست اجتماعی؟!، به این موضوع باید توجه کرد که انسان برای بقاء خود نیاز به برقراری ارتباط دارد با گونهٔ خود، از تولید مثل برای بقاء بگیر تا برای رهایی از تنهایی و در خواست احتیاجات خود، انسان شاید بتواند تولید مثل نکند ولی باز زنده است ولی برای بقاء گونه خود نیاز دارد تولید مثل کند.

و حال برگردیم به رابطه بین فیزیک و ریاضی، فیزیک به معنای ساینس یک علم تجربیست و ریاضی بر همان تعریف یک موجود مجرد است اما با این حال رابطه تنگاتنگی باهم دارند به این معنی که یک فیزیکدان و فیزیکخوان بدون ریاضیات می‌تواند در مورد طبیعت فکر کند ولی برای بیان افکار خود نیاز به ابزاری دارد و این امر درست نیست که یک فیزیکدان خوب می‌تواند ریاضیدان خوبی نباشد، بلکه بر عکس تا وقتی یک شخص اصول اولیه و پیشرفته ریاضی نسبیتخاص و عام و یا مسائل مربوط به ریاضیات مکانیک کوانتوم را متوجه نشد مطمئناً نمی‌تواند درک درستی از نسبیت و کوانتوم داشته باشد ولو این که خود آلبرت انیشتین باشد, شاید در نگاه اول تفکر پوزیتویسمی در پشت این نظر باشد که همه چیز ریاضیات است باشد ولی توجه کنید که یک فیزیکدان می‌تواند بفهمد که حاصل ضرب جرم در شتاب برابر نیرو می‌شود ولی برای بیان گفته خود نیاز به یک ابزار و وسیله دارد همانند انسانی که شکار می‌کند بدون گفتن کلمه‌ای ولی برای بیان این که شکارش را می‌فروشد نیاز به زبان دارد و حال این که ایا این بیان ریاضیاتی از قوانین فیزیک بیانگر این است که طبیعت به صورت ریاضیاتی رفتار می‌کند خود جای بحث دارد.
شخص یا فردی که به معنای واقعی کلمه می خواهد فیزیکدان شود و نه فیزیک خوان باید با ریاضیاتی سنگین دست و پنجه بزند و نمی‌تواند بدون دانستن اصول بیشرفته ریاضی قدم در راهی گذاشت که منجر به شناخت طبیعت می‌شود چه این شخص آلبرت انیشتین باشد یا ماکس پلانک و چه یک دانشجوی تازه قلم به دست گرفته فیزیک.

همان‌طور که گفتم فیزیک و ریاضیات رابطه جدانشدنی باهم دارند و خواندن فیزیک بدون ریاضیات عملاً امکان‌ناپذیر است ولی معدود کتاب‌هایی هستند که خلاف این امر را نشان می‌دهند هرچند خواندن این قسم کتاب‌ها تنها برای فهم و درک شخصی خواننده خوب است و برای دست‌به‌قلم بردن و سیاهی کردن حتماً باید ریاضیات سطح بالایی را دانست

***

اینجا می خواهم یک پدیده ای را برسی کنیم  و شاید مثالی باشد از اینکه روش ریاضی  در برخورد با طبیعت چگونه زیبایی خود را به رخ ما میکشد!
تا به حال به این دقت کرده اید که یک جمعیت بسیار بزرگ براحتی می توانند با هم به صورت هماهنگ دست بزنند؟ قدری مکث کنید! این آدم ها قبلا با هم هماهنگ نکرده اند و آموزش خاصی هم ندیده اند اما یک جمعیت ده هزار نفری هم براحتی می توانند بعد از چند ثانیه، دست زدن های (یا پا زدن های) هماهنگ انجام دهند!
اما گاهی این اتفاقات ساده فرم های عجیب تری می گیرند که دیگر نه تنها دانشمند که آدم عادی را هم دچار تعجب و حیرت می کند. مثال حیرت انگیز آن که احتمالا هم ندیده اید کرم های شب تاب هستند. کرم های شب تاب در شب چشمک می زنند اما در نقاطی از زمین دسته های بزرگی از آن ها در شب بر روی درختان جنگل پرواز می کنند و شما شاهد هزاران کرم شب تاب می شوید که همزمان با هم چشمک می زنند! چطور چنین چیزی ممکن است؟ چگونه یک کرم شب تاب این سوی جنگل دقیقا با کرم شب تابی صدها متر آن طرف تر همزمان چشمک می زند؟

هر کرم شب تاب یک ساعت طبیعی درونی دارد و هر زمان که این ساعت بر روی مثلا ۱۲ قرار می گیرد یک چشمک (فلش) می زند!
به جای اینکه هر کرم شب تاب با تمام کرم های دیگر هماهنگ کند هرگاه هر کرم شب تاب یک همسایه می بیند که دارد چشمک می زند عقربه خودش را قدری به سمت ۱۲ هل می دهد تا به روند چشمک زدن او نزدیک تر شود.

این قانون بسیار ساده به تنهایی منجر به هماهنگی کل کرم های شب تاب می شود! اما همیشه جزییات هستند که مهم می شوند

اما جزییات ریاضی بسیاری در این پدیده که یک نوع خودسازماندهی در یک سیستم دینامیکی است،‌ دخیل هستند که این جا بیشتر آن را بررسی می کنیم.
می توان یک جمعیت بزرگ به اندازه N از کرم های شب تاب را در نظر گرفت که ازین به بعد به آن ها نوسان گر می گوییم. هر نوسان کننده دقیقا مانند ساعت بالاست یعنی یک زاویه یا به زبان ریاضی فاز دارد. فاز را با تتا نمایش می دهد. آهنگ تغییرات تتا همان فرکانس می باشد (یعنی با چه سرعتی در هر ثانیه می چرخد). به زبان ریاضی:

در ابتدا این فرکانس ها را به صورت تصادفی (بر اساس مثلا یک توزیع احتمال) هستند. یعنی در ابتدا این کرم های شب تاب فقط با آهنگ های مخصوص خود که مستقل از بقیه است چشمک می زنند.
اما گفتیم این فرکانس در عمل نمی تواند ثابت باشد بلکه بر اساس دیگر نوسان کننده ها تغییر می کند. یعنی هر نوسان کننده میزان فرکانسش را به همسایه خود نزدیک تر می کند. روش های زیادی برای مدل کردن این تصویر کلی وجود دارد اما یک مدل معروف در این زمینه مدل kuramoto است. در این مدل آهنگ فاز هر نوسان کننده بر اساس فاصله ی این نوسان کننده از دیگران تغییر می کند. این فاصله بر اساس سینوس تفاوت فاز ها مشخص می شود(قدری درنگ کنید و به این فکر کنید چرا تابع سینوس برای فاصله انتخاب شده است). همچنین باید در نظر داشت که هر نوسان کننده فقط یک نوسان کننده دیگر را نمی بینید بلکه (فعلا) همه آن ها را میبیند. پس باید میانگین همه دیگر نوسان کننده ها را در نظر گرفت.

به عبارت دیگر:

یک پارامتر دیگر هم در کار است،
به پرامتر اتصال شناخته میشود شان دهنده این است که چقدر نوسان کننده ها بر روی هم اثر می گذارند. یک تصویر از این نوسان کننده ها را در زیر می بینیم. شما می توانید هر یک را دقیقا مانند یک کرم شب تاب ببینید

اگر تعداد نوسان کننده زیاد باشد و در ابتدا بر اساس توزیع تصادفی از فرکانس ها شروع به چشمک زدن بکنند و K کوچک باشد همگام سازی رخ نخواهد داد. اما اگر K به اندازه کافی بزرگ باشد این اتفاق در نهایت رخ می دهد. Kc مقدار بحرانی K است که بعد از آن پدیده همگام سازی رخ می دهد.

اگرچه این مدل می تواند همگام سازی را نشان دهد اما از واقعیت فاصله دارد. همانطور که در مثال کرم های شب تاب دیدیم این موجودات نمی توانند تمام دیگر کرم ها را ببینند بلکه فقط یک همسایگی کوچک را می بینند. به این ترتیب به جای میانگین گرفتن بر روی همه دیگران فقط همسایه ها را در نظر می گیریم.

که در آن V(i) نزدیک ترین همسایه ها برای نوسان کننده i نشان می دهد و سیگما پارامتر اتصال است.
در حال حاظر سعی در حل مدل کوراموتو دارم ،برای همین منظور شکلی از این مدل را تصور کید که در ان

. باشد.من این معادله دیفرانسیل مرتبه دوم را به دو معادله دیفرانسیل معمولی باز میکنم

بعد من از روش runge kutta تا تقریب زدن تابع f و g  و این به ما در تسریع بخشیدن حل
وضعیت معادلات هم اکنون شبیه یک توپولوژی سه گره است ω1,ω2,ω3و
,. θ1,θ2 θ3.
بیایید برای راحتی کار Pرا یک بردار 3 بعدی و  ω را یک بردار 3 بعدی حاوی ωi و T را به یک بردار 3 بعدی شامل θi در نظر بگیریم.

طرح  runge kottaمن برای این سیستم با معادلات بالا ،اینچنین میباشد:

کنون وقتی برنامه خود را با یک انحراف کوتاه P(1)=-4.8 ازT=40تا t=42 با dT
= 1/10اجرا می کنم ، نتیجه ثبات “انتظار” می گیرم. اگر برنامه خود را با P (1) = – 4.8 با dt = 1/100 اجرا کنم . به همین ترتیب ، اگر برنامه رایک بار  با P(1) = – 4.9
اجرا میکنیم .
.

نمودارها در زیر نشان داده شده است. در محور Y رسم θ1 − θ2 و در محور X زمان را رسم می کنم. ایده ای چیست که می تواند باعث این بی ثباتی شود؟

همانطور که می بینید نمودار در بازه ای که تعریف کرده بودیم به ثبات میرسد و بینظمی به صفر میل میکند.این یک مثالی بود از این مدل تا شاید به کمک ان بهتر توانسته باشد این مدل را درک کنید.
در نهایت به یک تعریف دیگر نیاز داریم. برای آنکه بدانیم چقدر نوسان کننده ها با هم هماهنگ هستند نیاز به یک متر داریم. برای این کار می توان میانگین فازها را به صورت زیر درنظر گرفت

 

این میانگین تجربی عددی بین صفر و یک است و هر قدر به یک نزدیک تر باشد نشان دهنده هماهنگی (چشمک زدن همزمان) بیشتر است و هر قدر به صفر نزدیک تر باشد نشان دهنده پراکنده تر بودن و ناهماهنگ بودن بیشتر است. مثال آن را می توانید در شکل ببینید.

همانطور که می بینید در شکل a فازها پخش تر هستند و میانگین آنها تقریبا همدیگر را خنثی می کند و نتیجه به صفر بسیار نزدیک است اما در b فازها در یک بخش تجمع کرده اند و میانگین به یک بسیار نزدیک تر است.
اما شاید مهمترین سوال این باشد که کرم های شب تاب چطور کنار هم قرار گرفته اند؟ منظور از قرار گرفتن این است که این حشره ها با هم ارتباط دارند و منظور از ارتباط این است که آن ها به هم نگاه می کنند و بر اساس آن چشمک زدن خود را تنظیم می کنند. اگر ارتباط کرم های شب تاب را به صورت یک گراف یا شبکه در نظر بگیریم نخست باید بدانیم هر کرم شب تاب با تمام بقیه کرم ها ارتباط ندارد چون آن ها نمی توانند بیشتر از فاصله مشخصی را ببینند. ارتباطات آن ها بیشتر محلی است. وقتی بیشتر روی موضوع تحقیق شد مشخص شد که قضیه بسیار جالب تر از یک شبکه بزرگ با ارتباطات محلی است.
مطالعه بر روی شبکه های پیچیده (شبکه هایی با تعداد زیاد نود) نشان داد که شبکه ها در مقیاس بزرگ مانند یک ارگانیسم از قوانین آماری مشخصی پیروی می کنند. یکی از مهمترین خاصیت این شبکه ها این است که بیشتر نود ها همسایه هم نیستند اما نود های همسایه ی هر نود دلخواهی به احتمال زیاد خودشان با هم ارتباط دارند. چنین ویژگی ای منجر به ارتباطات محلی می شود! خاصیت بعدی این است که در این شبکه ها فاصله هر دو نود دلخواه بسیار کوتاه است! این قدری عجیب به نظر می رسد اما در واقع به خاطر خاصیت ارتباطات چگال محلی و ارتباطات بین خوشه ها ممکن است

به صورت فرمال تر در شبکه های جهان-کوچک اگر فاصله بین هر دو نود دلخواه L باشد این فاصله فقط به صورت لگاریتمی با تعداد نود های شبکه رشد می کند! به عبارت دیگر:

ما نکته جالب اینجاست که شبکه های جهان-کوچک همه جا هستند! شبکه های اجتماعی، شبکه پروتیین ها، اینترنت و حتی مغز انسان جهان-کوچک هستند! مثلا در زمینه شبکه های اجتماعی خاصیت کوتاه بودن مسیر به این معناست که شما می توانید با هر شخص دیگری بر روی یک شبکه ی اجتماعی از طریق تعداد بسیار کمی افراد میانی وصل شوید (دوست دوست دوست) مثلا در فیس بوک این عدد به صورت متوسط ۶ نفر است.
خاصیت دیگری که این شبکه ها دارند scale-free بودن آن هاست. این بدان معناست که مهم نیست شما در چه حد در شبکه زوم کرده باشید جز در آن شبیه به کل است! دقیقا مانند کلم بروکلی! این خیلی یاد آور فراکتال هاست. دلیل این ویژگی این است که در این شبکه ها توزیع درجه ی نود ها از توزیع power law می آید. به عبارتی اگر نسبت گره هایی که درجه ی k دارند P(k) باشد. در این صورت:

که گاما در این جا عددی بین دو و سه است. اما مهمترین چیزی که در بین همه این شبکه ها مشترک است این است که این شبکه ها مصنوعی نیستند! به عبارتی این ها خواص شبکه هایی هستند که به صورت طبیعی در طبیعت ایجاد و تکامل می یابند. آن ها بیشتر شبیه به ارگانیسم های زنده ای هستند که در نهایت به این خواص می رسند تا شبکه هایی که به صورت مصنوعی بر روی یک کامپیوتر ایجاد می شود.

اما این ها چه ربطی به موضوع اصلی دارد؟ در واقع پدیده همزمانی نمی تواند براحتی اتفاق بیفتد مگر آنکه شبکه ای که بستر ایجاد آن است از نوع جهان-کوچک باشد! دلیل این موضوع خاصیت دیگری از این شبکه هاست. در این شبکه ها به علت ارتباطات محلی و بین خوشه ای سرعت انتشار اطلاعات بسیار بالاست. مطالعات زیادی در مورد خاصیت همزمانی در شبکه های ساده متشکل از حتی دو نود تا شبکه های منظم مانند lattice ها انجام شده است. به طور مثال در lattice‌ ها همزمانی نه به صورت کامل بلکه به صورت محلی اتفاق می افتد.نمونه ای دیگر از این پدیده را میتوانید در فیلم پایین ببینید .

اما شبکه های جهان کوچک در زمینه همگام سازی از همه شبکه های دیگر موفق تر هستند. اگر چه این شبکه ها به صورت طبیعی ایجاد می شوند اما ریاضیدانان کم کم با پیشرفت های یک قرن گذشته کم کم راه هایی برای ساختن آنها به صورت مصنوعی یافتند
مدل Erdős–Rényi: این مدل بسیار ساده گرافی را توصیف می کند که هر گره با احتمال p به هر گره دیگر متصل است و در غیر این صورت ارتباطی وجود ندارد. این شبکه دارای خاصیت خوشه بندی نیست فقط گره ها در آن با احتمال مشخصی به هم متصل هستند. و توزیع گره ها در آن ها به جای power law بیشتر شبیه توزیع پواسون است.
(توزیع پواسون: https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution)
مدل Barabási–Albert model: در این مدل ابتدا یک شبکه از m نود داریم که به هم متصل هستند سپس شروع به ایجاد اتصالات جدید می کنیم. احتمال اتصال به هر نود متناظر است با نسبت درجه آن. یعنی نود هایی که به نود های بیشتری متصل شده اند با احتمال زیاد باز هم لینک های جدیدی به آن ها متصل خواهد شد. دقت کنید این صرفا یک احتمال است همیشه لینک های تصادفی جدیدی ایجاد می شوند. به عبارتی احتمال اتصال هر نود به نود i برابر است با:

این مدل منجر به شبکه ای می شود که دارای توزیع درجاتی است که از power law پیروی می کند اما خاصیت خوشه های محلی ندارد.
مدل Watts–Strogatz model: این مدل در پی ایجاد شبکه ای است که دارای خاصیت خوشه های محلی است و برای اینکار دنبال چیزی بین lattice که بسیار منظم است و گراف تصادفی Erdős–Rényi است. این گراف ابتدا با یک گراف منظم مانند چپ ترین شکل زیر آغاز می کند و سپس برخی از لینک ها را قطع و دوباره به صورت تصادفی به نود دیگری وصل می کند. این کار را می توان آنقدر ادامه داد که کاملا یک گراف تصادفی داشت اما در میانه راه گرافی که به وجود می آید خاصیت جهان کوچک دارد. به این معنا که خوشه هایی در آن شکل می گیرد. مدل watts-strogatz می تواند منجر به شبکه هایی با خاصیت خوشه بندی محلی شود اما توزیع درجه های آن برخلاف شبکه های طبیعی از قانون power law پیروی نمی کند

مانطور که دیدید هیچ کدام از این مدل های مصنوعی به صورت دقیق نمی تواند آنچه در طبیعت رخ می دهد را شبیه سازی کنند. اما تنها با مطالعه همین شبکه ها هم می توان چیزهای زیادی در مورد شبکه های طبیعی فهمید

همزمانی چشمک زدن کرم های شب تاب یک مساله فقط در مورد این موجودات نیست. همزمان سازی یک الگوی جهانی است و همین آن را شگفت انگیز می کند. مثال های آن آنقدر زیاد هستند که نمی توان به همه پرداخت اما اینجا چند مورد دیگر آن را ذکر می کنم.
یکی از مثال های دیگر همزمان سازی صدای همزمان جیرجیرک ها در شب است. به ناگاه صدها جیرجیرک شروع به تولید صدا به صورت همزمان می کنند. یک نمونه آن را در زیر می شنوید.

برای گوش دادن کلیک کنید.

همگام سازی لزوما همیشه مفید نیست. همگام سازی ای که در نورون های مغز انجام می شود یکی از اصلی ترین دلایل بیماری صرع است. در این بیماری نورون های مغز در یک سیستم در هم تنیده شده شروع به تپش می کنند و در نهایت این موج آنقدر گسترده می شود که از کنترل خارج شده و منجر به حمله های عصبی صرع می شود.
اما در عین حال برخی از همگام سازی ها برای انسان حیاتی هستند. مهمترین مثال آن همگام سازی سلول های موسوم به pacemaker cell هستند که اساس تپش های منظم قلب هستند و آن را ممکن می کنند. همگام سازی همچنین در سطح کوانتومی و اتمی هم رخ می دهد. برای آنکه به یک سفر بسیار خواندنی با دانش جدید همگام سازی بروید کتاب زیر که توسط strogatz یکی از پیشگامان این موضوع است، توصیه می شود.
. در نهایت باید گفت همگام سازی همه جا در اطراف ما اتفاق می افتد و این یک ویژگی ریاضیاتی از جهان ماست! همگام سازی رقص هماهنگ و خود ظهور (emergent) طبیعت است اما آنچه واضح است این است که جهان ما تمایل زیادی به این رقص هماهنگ که شبیه به رقص هماهنگ صوفیان موسوم به سماع است دارد!
رقص نوعی حرکته منتها حرکتیست که یک مبنا یا محرکی تکانش میده یک محرک از درون از خویشتن…میتوان گفت رقص حرکتیست که از نقص به کمال میرود،پس اگر رقص را چنین تعریف کنیم که رقص حرکت از نقص به کمال است ،نه تنها رقاص نه تنها انسان بیلکه هستی در رقص است…برای اینکه هستی و کاعنت علی الدوام از نقص به مکال میرود ، عالم و هر موجودی در عالم با موسیقی خویشتن در رقص است …

این مقاله کلا مسالی بود که بتوانم این مفهوم قلسقی را جا بیندازم…
عالم در رقص است …با موسیقی خویشتن….

آسترونو مگ

منابع:

[1] Zeegers, Benthen Pascal. Spontaneous synchronization in complex networks. BS thesis. 2015.
[2] Strogatz, Steven H. Sync: How order emerges from chaos in the universe, nature, and daily life. Hachette UK, 2012.
[3] https://ncase.me/fireflies/

اشتراک گذاری

مدیر و موسس آسترونو مگ

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *